Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{{{（x+1）}^2}+asinx}}{{{x^2}+1}}$+1（a∈R），f（ln（log₂5））=5，则f（ln（log₅2））=（　　）

• A． -5
• B． -1
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据题意，对函数f（x）变形可得$f（x）=\frac{{{{（x+1）}^2}+asinx}}{{{x^2}+1}}+1=\frac{2x+asinx}{{{x^2}+1}}+2$；令$g（x）=f（x）-2=\frac{{{{（x+1）}^2}+asinx}}{{{x^2}+1}}$，分析可得g（x）为奇函数，又由ln（log₅2）=-ln（log₂5），结合函数奇偶性的性质即可得答案．

解答 解：根据题意，$f（x）=\frac{{{{（x+1）}^2}+asinx}}{{{x^2}+1}}+1=\frac{2x+asinx}{{{x^2}+1}}+2$；
令$g（x）=f（x）-2=\frac{{{{（x+1）}^2}+asinx}}{{{x^2}+1}}$，则g（x）为奇函数，
g（ln（log₂5））=f（ln（log₂5））-2=3，g（ln（log₅2））=g（-ln（log₂5））=-3，
f（ln（log₅2））=g（ln（log₅2））+2=-3+2=-1，
即f（ln（log₅2））=-1；
故选：B．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，涉及对数的运算性质，关键是构造函数g（x）=f（x）-2，并分析g（x）的奇偶性．