Question

3．已知数列{a_n}通项为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n=2k-1，k∈N*）}\\{{2}^{n}（n=2k，k∈N*）}\end{array}\right.$，求它的前n项和．

Answer 1

分析 对n分类讨论，利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n=2k-1，k∈N*）}\\{{2}^{n}（n=2k，k∈N*）}\end{array}\right.$，
∴当n=2k时，S_n=[1+3+…+（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k）
=$\frac{k（1+2k-1）}{2}$+$\frac{4（{4}^{k}-1）}{4-1}$=${k}^{2}+\frac{4}{3}$（4^k-1）．
当n=2k-1时，S_n=S_n-1+a_2k-1
=k²+$\frac{4}{3}（{4}^{k-1}-1）$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}+\frac{4}{3}（{4}^{k}-1），n=2k}\\{{k}^{2}+\frac{4}{3}（{4}^{k-1}-1），n=2k-1}\end{array}\right.$，（k∈N^*）．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．