Question

“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）．
（Ⅰ）共有

 

个五位“渐升数”（用数字作答）；
（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是

 

．

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：（Ⅰ）分析可得“渐升数”中不能有0，则可以在其他9个数字中任取5个，按从小到大的顺序排成一列，即可以组成一个“渐升数”，即每种取法对应一个“渐升数”，由组合数公式计算C₉⁵即可得答案，
（Ⅱ），先计算1和2，3在首位的“渐升数”的个数，可得第100个“渐升数”的首位是3，进而计算3在首位，第二位是4，第三位是5的“渐升数”的个数，即可分析可得第1111个“渐升数”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“渐升数”中最大的一个，即34589，继而求出第110个

解答： 解：（Ⅰ）根据题意，“渐升数”中不能有0，
则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应一个“渐升数”，
则共有“渐升数”C₉⁵=126个，
（Ⅱ）对于这些“渐升数”，1在首位的有C₈⁴=70个，2在首位的有C₇⁴=35个，3在首位的有C₆⁴=15个，
对于3在首位的“渐升数”中，第二位是4的有C₅³=10个，第三位是5的有C₄²=6，
∵70+35+10+6=111，
所以则第111个“渐升数”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“渐升数”中最大的一个，即34589
则第110个“渐升数”即34579；
故答案为126，34579；

点评：本题考查排列、组合的应用，关键是理解“渐升数”的含义，其次要注意0不能在首位，即“渐升数”中不能有0．