Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式在x∈（-∞，1]上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²的单调递减区间是（1，2），
∴f′（x）＜0的解是1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0
从f（0）=a²=1且 a＞0可得a=1
又得
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∴x∈（-∞，1]时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，1]上是增函数
对x∈（-∞，1]，当x=1时，
要使在x∈（-∞，1]上恒成立，
即，
即对任意m∈（0，2]恒成立，
即对任意m∈（0，2]恒成立，
设，则t＜h（m）_min，令h′（m）=0，得m=1或m=-1
在m∈（0，2]，h′（m）的符号与h（m）的单调情况如下表：

m	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（m）	-	0	+	0
h（m）	↘	极小值	↗	极大值

∴m=1时，，
∴
分析：（I）由题意可知f'（x）＜0的解集为（1，2），即f'（x）=0的两个根为1和2，利用根与系数的关系建立等式，以及满足f（0）=1，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式．
（II）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），利用导数研究它的单调性得出当x=1时，，要使在x∈（-∞，1]上恒成立，即，下面再利用导数研究函数f（x）的最大值，即可得出实数t的取值范围．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数在某点取得极值的条件、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．