Question

已知a∈R，设p：函数f(x)＝x²＋(a－1)x是区间(1，＋∞)上的增函数，q：方程x²－ay²＝1表示双曲线．
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）[－1，＋∞)（2）(0，＋∞)

试题分析：（1）因为p为真命题，即函数f(x)＝x²＋(a－1)x是(1，＋∞)上的增函数，由于二次函数单调性决定于对称轴与定义区间的相对位置关系，所以结合图像可得对称轴在区间(1，＋∞)左侧时，函数单调增即：，解得a≥－1，（2）因为“p且q”为真命题，所以p为真命题，且q也为真命题．由（1）可得p为真命题时有a≥－1；由q为真命题，即方程x²－ay²＝1表示双曲线，因而有a＞0；两者要同时成立，就是求其交集，为a＞0．
试题解析：
（1）因为p为真命题，即函数f(x)＝x²＋(a－1)x是(1，＋∞)上的增函数，
所以．                                      3分
解得a≥－1．
即实数a的取值范围是[－1，＋∞)．                     5分
（2）因为“p且q”为真命题，所以p为真命题，且q也为真命题．  7分
由q为真命题，得a＞0．
所以a≥－1且a＞0，即a＞0．
所以实数a的取值范围是(0，＋∞)．                    10分