Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+x为奇函数，且f（1）-f（-1）=4．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c²-9c恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+x为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立
即：-ax³+bx²-x=-ax³-bx²-x?2bx²=0任意x∈R恒成立
∴b=0，可得f（x）=ax³+x
∵f（1）-f（-1）=4
∴a+1-（-a-1）=4?a=1
综上所述，得a=1，b=0
（2）由（1）得f（x）=x³+x，
求导数得f′（x）=3x²+1＞0对任意x∈R恒成立
∴f（x）是R上的增函数．当x∈[0，2]时，f（x）的最大值为f（2）=10
∵对于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c²-9c恒成立
∴10＜c²-9c?c²-9c-10＞0?c＜-1或c＞10
综上所述，得实数c的取值范围为c∈（-∞，-1）∪（10，+∞）．
分析：（1）根据奇函数的定义，采用比较系数的方法可得b=0，代入原函数再结合等式f（1）-f（-1）=4，可得实数a的值；
（2）由（1）得f（x）=x³+x，利用导数工具得到函数是R上的增函数，从而在区间[0，2]上的最大值为f（2）=10，再结合f（x）＜c²-9c恒成立，说明f（x）的最大值也小于c²-9c，建立不等关系可解得实数c的取值范围．
点评：本题以三次多项式函数为例，考查了函数的单调性、奇偶性及其综合等知识点，属于中档题．本题中处理不等式恒成立问题时，利用了函数的最值，是解决此类问题的最常用方法．