Question

已知函数f（x）=kx-

k

x

-2lnx，其中k∈R；
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数k的取值范围．
（2）若函数g（x）=

2e

x

，且k＞0，若在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为f（x）在其定义域内的单调递增函数，所以f'（x）在（0，+∞）内满足f'（x）≥0恒成立，转化为求kx²-2x+k≥0对x∈（0，+∞）恒成立，然后利用分离参数法，转化为求函数的最值，即可求得实数k的取值范围．
（2）在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，等价于不等式f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，只需f（x）-g（x）的最大值大于0即可．

解答：解：（1）f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，
因为f（x）在其定义域内的单调递增函数，
所以f'（x）在（0，+∞）内满足f'（x）≥0恒成立，
即kx²-2x+k≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
亦即k≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

对x∈(0，+∞)恒成立，∴k≥(

2

x+ 1 x

)max即可
又x∈(0，+∞)时，

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤

2

2

=1，
当且仅当x=

1

x

，即x=1时取等号，∴使函数f（x）在其定义域内为单调增函数的实数k的取值范围是[1，+∞）．
（2）在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，等价于不等式f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，
设F(x)=f(x)-g(x)=kx-

k

x

-2lnx-

2e

x

，则F′(x)=k+

k

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

kx2+k-2x+2e

x2

＞0，
∴F（x）为[1，e]上的增函数，F（x）_max=F（e），
依题意需F(e)=ke-

k

e

-4＞0，解得k＞

4e

e2-1

∴实数k的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，函数最值的应用．基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好的考查了学生的计算能力．