Question

【题目】如图，在四棱锥，底面是平行四边形，，底面，，，，分别为，的中点，为线段的中点.

（1）求证：面；

（2）求直线与平面所成的角.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由题意得EF⊥AP，AB⊥AC，，分别为，的中点，从而四边形ABEF为平行四边形，AB∥EF，进而AC⊥EF，由此能证明EF⊥面PAC．

（2）连接AE，AM，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，AE⊥PA，从而AE⊥平面PAD，进而∠EMA是EM与平面PAD所成的角，由此能求出直线ME与平面PAD所成角．

（1）证明：∵PA⊥面ABCD，EF面ABCD，∴EF⊥AP，在△ABC中，AB＝AC，，

在平行四边形中，得∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB⊥AC，且，分别为，的中点，

∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB∥EF，∴AC⊥EF，

∵AP∩AC＝C，AP面PAC，AC面PAC，∴EF⊥面PAC.

（2）连接AE，AM，△ABC中，∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴AE⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，∴AE⊥PA，∵PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，

∴AM是EM在平面PAD中的射影，∴∠EMA是EM与平面PAD所成的角，

等腰直角三角形ABC，AB＝AC＝2，∴BC＝AB＝2，∴AD＝2，，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，∵PA＝4，∴PD＝，

又M为PD的中点，故，在Rt△MAE中，tan∠EMA＝＝，

∴直线ME与平面PAD所成角的正切值为，所以直线与平面所成的角