Question

1．过点Q（-1，-1）作已知直线l：y=$\frac{1}{4}$x+1的平行线．交双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1于点M，N．
（1）证明：点Q是线段MN的中点．
（2）分别过点M，N作双曲线的切线l₁，l₂，证明：三条直线l，l₁，l₂相交于同-点．
（3）设P为直线l上一动点．过点P作双曲线的切线PA，PB，切点分别为A，B．证明：点Q在直线AB上．

Answer 1

分析 （1）求出平行线MN的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，即可得证；
（2）对双曲线的方程两边对x求导，求得切线的斜率，求得切线的方程，再由共点的直线系方程，即可得证；
（3）设出A，B的坐标，求得切线的方程，由两点确定一条直线，求得切点弦方程，代入Q，即可得证．

解答 证明：（1）由题意可得直线MN：y+1=$\frac{1}{4}$（x+1），
即y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
代入双曲线的方程可得，3x²+6x-25=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-2，
由中点坐标公式可得Q为MN的中点；
（2）由（1）可得x₁+x₂=-2，y₁+y₂=-2，
对$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1两边对x求导，可得
$\frac{1}{2}$x-2yy′=0，
即有M处的切线的斜率为$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，
即有M处的切线的方程为y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$（x-x₁），
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-y₁²=1，
可得M处的切线的方程为$\frac{{x}_{1}x}{4}$-y₁y=1，①
同理可得N处的切线方程为$\frac{{x}_{2}x}{4}$-y₂y=1，②
由①+②可得，$\frac{x（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$-（y₁+y₂）y=2，
化简为y=$\frac{1}{4}$x+1，
由共点的直线系方程，
可得三条直线l，l₁，l₂相交于同-点；
（3）设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由（2）可得A处的切线的方程为$\frac{{x}_{3}x}{4}$-y₃y=1，
B处的切线方程为$\frac{{x}_{4}x}{4}$-y₄y=1，
设P（m，1+$\frac{m}{4}$），
即有$\frac{m}{4}$x₃-y₃（1+$\frac{m}{4}$）=1，
$\frac{m}{4}$x₄-y₄（1+$\frac{m}{4}$）=1，
由两点A，B确定一条直线，可得
AB的方程为有$\frac{m}{4}$x-y（1+$\frac{m}{4}$）=1，
代入Q（-1，-1），可得-$\frac{m}{4}$+1+$\frac{m}{4}$=1．
即有Q在直线AB上．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查直线和双曲线相切，注意运用导数求出斜率，考查直线方程的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．