Question

20．已知角A，B，C为等腰△ABC的内角，设向量$\overrightarrow{m}$=（2sinA-sinC，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosC，cosB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，BC=$\sqrt{7}$
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）在△ABC的外接圆的劣弧$\widehat{AC}$上取一点D，使得AD=1，求sin∠DAC及四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量共线的条件，即可求角B；
（Ⅱ）求出CD，∠ADC=$\frac{2π}{3}$，由正弦定理可得sin∠DAC，即可求出四边形ABCD的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2sinA-sinC，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosC，cosB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∴2sinAcosB=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）根据题意及（Ⅰ）可得△ABC是等边三角形，∠ADC=$\frac{2π}{3}$
△ADC中，由余弦定理可得$A{C}^{2}=A{D}^{2}+C{D}^{2}-2AD•CD•cos\frac{2π}{3}$，
∴CD²+CD-6=0，
∴CD=2，
由正弦定理可得sin∠DAC=$\frac{CDsin∠ADC}{AC}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴四边形ABCD的面积．S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{7}sin∠DAC$+$\frac{1}{2}×\sqrt{7}×\sqrt{7}sin∠ABC$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查向量共线条件的运用，考查余弦定理、正弦定理，属于中档题．