Question

8．平面直角坐标系中，若点P（3，$\frac{7π}{2}$）经过伸缩变换：$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=\frac{1}{3}y}\end{array}\right.$ 后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于1．

Answer 1

分析 利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把极坐标化为直角坐标，再经过伸缩变换：$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=\frac{1}{3}y}\end{array}\right.$ 后的点为Q，即可得出答案．

解答 解：由点P（3，$\frac{7π}{2}$）可得：x=$3cos\frac{7π}{2}$=$3cos（-\frac{π}{2}）$=0，y=3sin$\frac{7π}{2}$=-3．
∴直角坐标为P（0，-3）．
经过伸缩变换：$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=\frac{1}{3}y}\end{array}\right.$ 后的点为Q（0，-1），
即Q$（1，\frac{3π}{2}）$．
∴极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于1．
故答案为：1．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、伸缩变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．