Question

6．在△ABC中，已知a：b：c=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}$+1）且△ABC的周长为3（1+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$），解此三角形．

Answer 1

分析 由已知可设a=2k，b=$\sqrt{6}k$，c=（$\sqrt{3}$+1）k，（k＞0），结合△ABC的周长为3（1+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）求得k值，即可得到三边长，再由余弦定理的推论求得角A和角B，结合三角形内角和定理求得C．

解答 解：在△ABC中，∵a：b：c=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}$+1），
∴可设a=2k，b=$\sqrt{6}k$，c=（$\sqrt{3}$+1）k，（k＞0），
由△ABC的周长为3（1+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$），得2k+$\sqrt{6}k+\sqrt{3}k+k$=3（1+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$），
即k=$\sqrt{3}$．
∴△ABC的三边长分别为：a=$2\sqrt{3}$，b=$3\sqrt{2}$，c=3+$\sqrt{3}$．
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（3\sqrt{2}）^{2}+（3+\sqrt{3}）^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}{2×3\sqrt{2}×（3+\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴A=$\frac{π}{4}$．
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（2\sqrt{3}）^{2}+（3+\sqrt{3}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}{2×2\sqrt{3}×（3+\sqrt{3}）}$=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
则C=π-$\frac{π}{4}-\frac{π}{3}=\frac{5π}{12}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形的内角和公式，解三角形，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．