Question

20．如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，若AA′=2AB，则异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{7}{10}$

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB′与BC′所成角的余弦值．

解答 解：以A为原点，在平面ABC中作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AA′=2AB=2，
则A（0，0，0），B′（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），C′（0，1，2），
$\overrightarrow{A{B}^{'}}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），$\overrightarrow{B{C}^{'}}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），
设异面直线AB′与BC′所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}^{'}}•\overrightarrow{B{C}^{'}}|}{|\overrightarrow{A{B}^{'}}|•|\overrightarrow{B{C}^{'}}|}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{7}{10}$．
∴异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为$\frac{7}{10}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．