Question

14．求证：2（sin⁶θ+cos⁶θ）-3（sin⁴θ+cos⁴θ）+1=0．

Answer 1

分析 利用平方和公式，立方和公式变形化简sin⁴θ+cos⁴θ，sin⁶θ+cos⁶θ，利用同角三角函数间基本关系化简计算即可得证．

解答 证明：∵sin⁴θ+cos⁴θ=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α=1-2sin²αcos²α，
∴sin⁶θ+cos⁶θ=（sin²α+cos²α）（sin⁴α+cos⁴α-sin²αcos²α）=1-3sin²αcos²α，
∴2（sin⁶θ+cos⁶θ）-3（sin⁴θ+cos⁴θ）+1
=2（1-3sin²αcos²α）-3（1-2sin²αcos²α）+1
=2-6sin²αcos²α-3+6sin²αcos²α+1
=0．
得证．

点评 本题考查了三角恒等式的证明，考查了分析法证明三角恒等式，解题中要注意一些常见式子的变形形式，关键是掌握分析法证题的步骤，属于中档题．