Question

11．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB₁⊥平面A₁CD，AC⊥BC，D为AB中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅱ）AA₁=1，AC=2，求三棱锥C₁-A₁DC的体积．

Answer 1

分析 （1）由AA₁⊥平面ABC得AA₁⊥CD，由AB₁⊥平面A₁CD得AB₁⊥CD，故CD⊥平面AA₁B₁B；
（2）由CD⊥平面AA₁B₁B得CD⊥AB，得出△ABC是等腰直角三角形，以△A₁C₁C为棱锥的底面，则D到平面A₁C₁CA的距离h=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}AC=1$．代入棱锥的体积公式计算．

解答 解：（I）∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，
∵AB₁⊥平面A₁CD，CD?A₁CD，
∴AB₁⊥CD．
又AA₁?平面AA₁B₁B，AB₁?平面AA₁B₁B，AA₁∩AB₁=A，
∴CD⊥平面AA₁B₁B．
（II）∵CD⊥平面AA₁B₁B，AB?平面AA₁B₁B，
∴CD⊥AB，
又∵D是AB的中点，
∴△ABC是等腰三角形，BC=AC=2．
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
又∵AC⊥BC，AA₁?平面AA₁C₁C，AC?平面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，
∵D是AB的中点，
∴D到平面AA₁C₁C的距离h=$\frac{1}{2}BC$=1．
∵S${\;}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{2}{A}_{1}{C}_{1}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴V${\;}_{{C}_{1}-{A}_{1}DC}$=V${\;}_{D-{A}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}•h$=$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．