Question

2．如图，C，D是以AB为直径的圆上的两点，AB=2AD=2$\sqrt{3}$，AC=BC，F是AB上的一点，且AF=$\frac{1}{3}$AB，将圆沿AB折起，使点C在平面ABD的正投影E在线段BD上，已知CE=$\sqrt{2}$，平面EFMN分别交AC、DC于点M、N．
（1）求证：AD⊥平面BCE；
（2）求证：AD∥MN；
（3）求三棱锥A-CFD的体积．

Answer 1

分析 （1）依题AD⊥BD，CE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BCE；
（2）由已知得BE=2，BD=3．从而AD∥EF，由此能证明AD∥平面CEF；
（3）由V_A-CFD=V_C-AFD，利用等积法能求出三棱锥A-CFD的体积．

解答 （1）证明：依题意，AD⊥BD
∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，
∵BD∩CE=E，
∴AD⊥平面BCE；
（2）证明：Rt△BCE中，CE=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{6}$，∴BE=2，
Rt△ABD中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{3}$，∴BD=3．
∴$\frac{BF}{BA}=\frac{BE}{BD}=\frac{2}{3}$，则AD∥EF，
∵AD?平面ADC，EF?平面ADC，
∴EF∥平面ADC．
又EF?平面EFMN，且平面EFMN∩平面ADC=MN，
∴EF∥MN，则AD∥MN；
（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，
且ED=BD-BE=1，
∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．
∴S_△FAD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵CE⊥平面ABD，
∴V_A-CFD=V_C-AFD=$\frac{1}{3}$S_△FAD•CE=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，求棱锥的体积，求解本题的关键是创造出线面垂直、线面平行的条件，熟知相关的定理是求解这一类题的保证，属中档题．