Question

9．已知x，y都是正实数，且x+y=1，若不等式x²-mxy+4y≥0对满足以上条件的任意x，y恒成立，则实数m的最大值为8．

Answer 1

分析 分离参数得m≤$\frac{{x}^{2}+4y}{xy}$，利用基本不等式求出$\frac{{x}^{2}+4y}{xy}$的最小值，即为m的最大值．

解答 解：∵x²-mxy+4y≥0，∴m≤$\frac{{x}^{2}+4y}{xy}$=$\frac{x}{y}+\frac{4}{x}$=$\frac{x}{y}+\frac{4x+4y}{x}$=$\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}+4$．
∵$\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}+4$≥2$\sqrt{4}+4$=8．
∴m≤8．
故答案为8．

点评 本题考查了函数恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．