Question

17．设f（x）是一次函数，f（1）=1，且f（2），f（3）+1，f（5）成等差数列，若a_n=f（n），n∈N^*．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）在{a_n}每相邻的两项之间插入2个数，构成一个新的等差数列{b_n}，求数列{b_n}的前n项和B_n．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax+b，由于f（2），f（3）+1，f（5）成等差数列，可得2[f（3）+1]=f（2）+f（5），又f（1）=1，联立解得a，b，再利用等差数列的定义即可证明．
（2）在{a_n}每相邻的两项之间插入2个数，构成一个新的等差数列{b_n}，设公差为d．则在a₁，a₂，即1，3之间插入数2个数，构成一个新的等差数列{b_n}的前4项，求出公差d即可得出．

解答 （1）证明：设f（x）=ax+b，
∵f（2），f（3）+1，f（5）成等差数列，∴2[f（3）+1]=f（2）+f（5），∴2（3a+b+1）=2a+b+5a+b，化为：a=2．
又f（1）=1，∴a+b=1，∴b=-1．
∴f（x）=2x-1．
∴a_n=f（n）=2n-1，
∴a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2，a₁=1．
∴{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
（2）在{a_n}每相邻的两项之间插入2个数，构成一个新的等差数列{b_n}，设公差为d．
则在a₁，a₂，即1，3之间插入数2个数，构成一个新的等差数列{b_n}的前4项，
则b₁=1，b₄=3，∴3=1+3d，解得d=$\frac{2}{3}$，
∴b_n=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$．
∴数列{b_n}的前n项和B_n=$\frac{n（1+\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}）}{2}$=$\frac{1}{3}{n}^{2}$+$\frac{2}{3}$n．

点评 本题考查了等差数列的定义及其通项公式前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．