Question

7．在如图所示的几何体中，平面ACDE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，∠ACB=90°，AE=2CD=2，AC=BC=1，BE=$\sqrt{6}$．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：DF⊥平面ABE；
（3）求三棱锥D-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB中点M，利用三角形的中位线的性质可得四边形CDFM为平行四边形，从而得到DF∥CM，再由线面平行的判定得到DF∥平面ABC；
（2）由已知求解直角三角形证明AE⊥AB，由面面垂直的性质可得AC⊥BC，再由线面垂直的判定得到AE⊥平面ABC，从而AE⊥CM．在△ABC中，由AC=BC，M为AB中点，
得CM⊥AB，进一步得到CM⊥平面ABE．结合（1）知DF∥CM，则DF⊥平面ABE；
（3）由（2）可知BC为三棱锥B-CDE的高，然后利用等积法求得三棱锥D-BCE的体积．

解答 证明：（1）设M为AB中点，连结FM，CM
在△ABE中，又F为BE中点，∴$FM∥AE，FM=\frac{1}{2}AE$．
又∵CD∥AE，且$CD=\frac{1}{2}AE$，
∴CD∥FM，CD=FM．
则四边形CDFM为平行四边形．
故DF∥CM，又DF?平面ABC，CM?平面ABC，
∴DF∥平面ABC；
（2）在Rt△ABC中，AC=BC=1，∴$AB=\sqrt{2}$．
在△ABE中，AE=2，$BE=\sqrt{6}$，$AB=\sqrt{2}$．
∵BE²=AE²+AB²．
∴△ABE为直角三角形．
∴AE⊥AB．
又∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，且∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
故BC⊥平面ACDE．
即BC⊥AE．
∵BC∩AB=B，
∴AE⊥平面ABC，而CM?平面ABC，
故AE⊥CM．
在△ABC中，∵AC=BC，M为AB中点，
∴CM⊥AB．AE∩AB=A，
∴CM⊥平面ABE．
由（1）知  DF∥CM，
∴DF⊥平面ABE；
（3）由（2）可知BC⊥平面ACDE，
∴BC为三棱锥B-CDE的高，
∴V_D-BCF=V_B-CDE=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•BC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．