Question

四边形ABCD为矩形，∠AEB=

π

2

，BC⊥平面ABE，BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：BF⊥平面AEC；
（2）已知AB=2BC=2BE=2，在线段DE上是否存在点P，使二面角P-AC-E为直二面角，如果存在，请确定P点的位置．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A垂直于平面ABE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BF⊥平面AEC．
（2）设

DP

=t

DE

，分别求出平面APC的法向量和平面AEC的法向由此能求出存在点P，且DP=

1

3

DE．

解答： （1）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A垂直于平面ABE的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），
D（0，0，1），E（

3

2

，

3

2

，0），F（

3

4

，

7

4

，

1

2

），
∴

BF

=（

3

4

，-

1

4

，

1

2

），

AC

=（0，2，1），

AE

=（

3

2

，

3

2

，0），
∴

BF

•

AC

=0，

BF

•

AE

=0，
∴BF⊥AC，BF⊥AE，
∵AC∩AE=A，∴BF⊥平面AEC．
（2）设

DP

=t

DE

，∴P（

3

2

t，

3

2

t，-t），∴

AP

=(

3

2

t，

3

2

t，1-t)，
设平面APC的法向量为

n

=(x，y，z)，∵

AC

=(0，2，1)，
∴

3t 2 x+ 3t 2 y+(1-t)z=0 2y+2=0

，
令y=1，得z=-2，x=

2- 7t 2

3 t 2

，
∵平面AEC的法向量

BF

=(

3

4

，-

1

4

，

1

2

)，二面角P-AC-E为直二面角，
∴

2- 7t 2

3 t 2

•

3

4

-

1

4

-1=0，解得t=

1

3

，
∴存在点P，且DP=

1

3

DE．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．