Question

设x，y满足约束条件 

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则ab的最大值．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-

a

b

＜0，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，直线y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，此时z最大．
由

2x-y+2=0 8x-y-4=0

，解得

x=1 y=4

，即A（1，4），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，
即a+4b=8，∴8=a+4b≥2

4ab

=4

ab

，
∴

ab

≤2
即ab≤4，
当且仅当a=4b=4，即a=4，b=1时取等号．
故答案为：4

点评：本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．