Question

6．设函数f（x）=|e^x-a|+|$\frac{1}{e^x}$-1|，其中a，x∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）设a≥$\frac{4}{3}$，讨论关于x的方程f（f（x））=$\frac{1}{4}$的解的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=0代入不等式，得到关于x的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出f（x）的分段函数，从而求出函数的单调区间；
（Ⅲ）先求出函数的值域，结合换元法以及a的范围，求出方程的解即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，不等式f（x）＜2，即：${e^x}+|{\frac{1}{e^x}-1}|＜2$，
即$|{\frac{1}{e^x}-1}|＜2-{e^x}$，因此$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{e^x}-1＞{e^x}-2\\ \frac{1}{e^x}-1＜2-{e^x}\end{array}\right.$…（2分）
得$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜{e^x}＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，所以$ln\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜x＜ln\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，
所以原不等式的解集为$（ln\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}，ln\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}）$．…（4分）
（Ⅱ）①当a≤0时，$f（x）={e^x}-a+|{\frac{1}{e^x}-1}|=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-\frac{1}{e^x}-a+1，x≥0\\{e^x}+\frac{1}{e^x}-a-1，x＜0.\end{array}\right.$
因为x＞0时，$f'（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}＞0$，x＜0时，$f（x）={e^x}-\frac{1}{e^x}＜0$，
故f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增；…（5分）
②当0＜a＜1时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-\frac{1}{e^x}-a+1，x≥0\\{e^x}+\frac{1}{e^x}-a-1，lna＜x＜0\\-{e^x}+\frac{1}{e^x}+a-1，x≤lna.\end{array}\right.$，
仿①得f（x）在（-∞，lna）和（lna，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
即f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增；（6分）
③当a=1时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-\frac{1}{e^x}，x≥0\\ \frac{1}{e^x}-{e^x}，x＜0\end{array}\right.$
易得f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增；    …（7分）
④当a＞1时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-\frac{1}{e^x}-a+1，x≥lna\\-{e^x}-\frac{1}{e^x}+a+1，0＜x＜lna\\-{e^x}+\frac{1}{e^x}+a-1，x≤0.\end{array}\right.$
同理得f（x）在区间（-∞，lna）上单调递减，在区间（lna，+∞）上单调递增．…（8分）
综上所述，
当a≤1时，f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，f（x）在区间（-∞，lna）上单调递减，在区间（lna，+∞）上单调递增．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当$a≥\frac{4}{3}$时，因为$f（lna）={e^{lna}}-\frac{1}{{{e^{lna}}}}-a+1=1-\frac{1}{a}$，
又x→+∞时，${e^x}-\frac{1}{e^x}-a+1→+∞$，
所以f（x）的值域为$[1-\frac{1}{a}，+∞）$，且$1＞1-\frac{1}{a}≥\frac{1}{4}$（等号仅当$a=\frac{4}{3}$时取）．…（12分）
令$f（x）=u，f（u）=\frac{1}{4}$，
当$a＞\frac{4}{3}$时，$f（u）＞\frac{1}{4}$，所以$f（u）=\frac{1}{4}$不成立，原方程无解；…（13分）
当$a=\frac{4}{3}$时，由$f（u）=\frac{1}{4}$得$u=ln\frac{4}{3}$，因为$ln{（\frac{4}{3}）^4}=ln\frac{256}{81}＞ln3＞1$，所以$ln\frac{4}{3}＞\frac{1}{4}$，
所以$f（x）=ln\frac{4}{3}$有两个不相等的实数根，故原方程有两个不同的实数解．…（15分）
综上所述，当$a＞\frac{4}{3}$时，原方程无解；当$a=\frac{4}{3}$时，原方程有两个不同的实数解．（16分）．

点评 本题考查了不等式的性质，考查函数的单调性以及方程的解的问题，是一道综合题．