Question

13．已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x₀∈M，使的f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），则称f（x）与g（x）在区间M上是“相似函数”，若f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+b与g（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间[1，3]上是“相似函数”，则a，b的值分别是（　　）

• A． a=-2，b=0
• B． a=-2，b=-2
• C． a=2，b=0
• D． a=2，b=-2

Answer 1

分析 由题意求出函数g（x）的最小值，然后对函数f（x）求导，进一步得到其在[1，3]上的最小值求解．

解答 解：∵当x∈[1，3]时，g（x）=x+$\frac{4}{x}$≥4，当且仅当x=2时取等号，
∴x₀=2，g（x₀）=4，
∵f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
①当a≤1时，∵x∈[1，3]，∴f′（x）≥0，故f（x）在[1，3]上单调递增，不合题意；
②当a＞1时，由f′（x）＞0，得x＜1或x＞a，由f′（x）＜0，得1＜x＜a，
故f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
依题意可得：a=2．
∴f（x）=2x³-9x²+12x+b，则f（2）=4+b=4，解得：b=0．
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．