Question

【题目】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列前项和；

（3）在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）在数列中，仅存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为1.

【解析】

试题（1）显然要分奇偶求解，用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求解；（2）同（1）要按奇偶分别求和，即求的也就是分奇偶后的前n项和；（3）先假设存在这样的连续三项按原来的顺序成等差数列，即假设 ，则，然后代入通项公式得，显然不成立；再假设，则，然后代入通项公式得，解此方程要构造新的方程，即令， ，故，只有 ，则仅存在连续的三项合题意.

试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

则,

,

又，，解得,

∴对于，有,

故.

（2）.

（3）在数列中，仅存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为1，下面说明理由.

若，则由，得,

化简得，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立.

若，则由，得,

化简得.

令，则.

因此，，故只有，此时.

综上，在数列中，仅存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为1