Question

【题目】己知函数（是常数，且）.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）求证:当，时，.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间是；

（2）实数的取值范围为；

（3）证明见详解；

【解析】

（1）先求导，再根据导数与函数的单调性的关系即可得到.

（2）在处取得极值，可得，解得，关于的方程化为，令（），利用导数研究单调性极值与最值，关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，必须满足解得即可.

（3）由（1）和（2）可知当时，，即，可得当时，，令，则，利用“累加法求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”即可证出.

（1）

若，则，

若，则，

的单调递减区间为，单调递增区间是.

（2）在处取得极值，

，解得，

，

关于的方程化为，

令（），

，

令，解得或，

令，解得，此时函数单调递增，

令，解得，此时函数单调递减，

关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，

则，即，解得，

实数的取值范围为.

（3）由（1）和（2）可知，当时，，即，

当时，，

令，则，

依次取，

累加求和可得

，

当时，，

，

，

当，时，