Question

7．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）（n∈N^*），b₁=-λ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是以2为首项，2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式可得数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），结合数列{b_n}是单调递增数列，可得b₂＞b₁，且b_n+2＞b_n+1 对任意的n∈N^*恒成立，由此求得
实数λ的取值范围．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n}}+1$，则$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
又∵a₁=1，∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+1={2}^{n}$，即${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}-1}$；
（2）b_n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-2λ）•2ⁿ，
又∵数列{b_n}是单调递增数列，
∴b₂＞b₁，且b_n+2＞b_n+1 对任意的n∈N^*恒成立，
由b₂＞b₁ 可得$λ＜\frac{2}{3}$，
由b_n+2＞b_n+1 可得$λ＜\frac{n}{2}+1$对于任意的n∈N^*恒成立，∴$λ＜\frac{3}{2}$，
综上可知，$λ＜\frac{2}{3}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题．