Question

13．棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E是CC₁的中点，求二面角D-B₁E-B的大小．

Answer 1

分析 建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 解：建立以D为坐标原点，DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），B₁（1，1，1），
则平面B₁EB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设平面DB₁E的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{DE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，1，1），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{y+\frac{1}{2}z=0}\\{x+y+z=0}\end{array}\right.$，
令z=2，则y=-1，x=-1，即$\overrightarrow{m}$=（-1，-1，2），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{1×\sqrt{1+1+4}}$=-$\frac{1}{\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵二面角D-B₁E-B是锐二面角，
∴二面角D-B₁E-B的余弦值为cosα=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
则α=arccos$\frac{\sqrt{6}}{6}$

点评 本题主要考查二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．