Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+x（x≥0）}\\{1-x（x＜0）}\end{array}\right.$，并给出以下命题，其中正确的是（　　）

• A． 函数y=f（sinx）是奇函数，也是周期函数
• B． 函数y=f（sinx）是偶函数，不是周期函数
• C． 函数y=f（sin$\frac{1}{x}$）是偶函数，但不是周期函数
• D． 函数y=f（sin$\frac{1}{x}$）是偶函数，也是周期函数

Answer 1

分析 求出y=f（sinx）的解析式，求出f[sin（-x）]，判断f（sinx）与f[sin（-x）]的关系，利用函数周期的定义得出y=f（sinx）的周期．同理判断y=f（sin$\frac{1}{x}$）的奇偶性和周期性．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+x，x≥0}\\{1-x，x＜0}\end{array}\right.$，∴f（sinx）=$\left\{\begin{array}{l}{1+sinx，sinx≥0}\\{1-sinx，sinx＜0}\end{array}\right.$．
当sinx＞0时，-sinx＜0，∴f[sin（-x）]=f（-sinx）=1+sinx=f（sinx），
当sinx＜0时，-sinx＞0，∴f[sin（-x）]=f（-sinx）=1-sinx=f（sinx），
∴f（sinx）是偶函数，
∵f[sin（x+2π）]=f（sinx），∴y=f（sinx）是以2π为周期的函数．
同理可得：y=f（sin$\frac{1}{x}$）是偶函数，
∵y=sin$\frac{1}{x}$不是周期函数，∴y=f（sin$\frac{1}{x}$）不是周期函数．
故选：C．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断，属于中档题．