Question

椭圆G：的两个焦点、，M是椭圆上一点，且满足．                                    
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率取得最小值时，点到椭圆上的点的最远距离为；
①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为（）的直线与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问：A、B两点能否关于过点、Q的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

(1)
(2)

解：（1）离心率的的取值范围是；
（2）①当离心率的取最小值时，椭圆的方程可表示为。
设是椭圆上的一点，则其中。
若，则当时，有最大值所以解得（均舍去）。
若，则当时，有最大值所以解得
∴所求椭圆方程为；
②设，则由两式相减得……. ①
又直线⊥直线∴直线的方程为，将坐标代入得……. ②
由①②解得，而点Q必在椭圆得内部，∴，由此可得，又∴
故当时，A,B两点关于过点P,Q得直线对称.）