Question

12．关于函数f（x）=sinx（sinx-cosx）的有关性质，下列叙述正确的是（　　）

• A． f（x）的最小正周期为2π
• B． f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]内单调递增
• C． f（x）的图象关于（-$\frac{π}{2}$，0）对称
• D． f（x）的图象关于x=$\frac{π}{8}$对称

Answer 1

分析 利用二倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，然后逐一核对四个选项得答案．

解答 解：∵f（x）=sinx（sinx-cosx）=$si{n}^{2}x-sinxcosx=\frac{1}{2}（1-cos2x-sin2x）$
=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
∴f（x）的最小正周期为π，A错误；
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{5π}{8}+kπ$，k∈Z，可知f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]内不单调，故B错误；
∵f（$-\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（-π+\frac{π}{4}）=1$，∴f（x）的图象不关于（-$\frac{π}{2}$，0）对称，故C错误；
∵f（$\frac{π}{8}$）=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴f（x）的图象关于x=$\frac{π}{8}$对称，故D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数式的化简、正弦型函数的图象与性质，是中档题．