已知向量$\overrightarrow{a}$=.$\overrightarrow{b}$=(cosωx.$\sqrt{3}$cosωx).其中ω＞0.设函数f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．的最小正周期是π.求函数f(x)的单调递增区间,的图象的一个对称中心的横坐标为$\frac{π}{6}$.求ω的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），其中ω＞0，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）若函数f（x）的最小正周期是π，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）的图象的一个对称中心的横坐标为$\frac{π}{6}$，求ω的最小值．

分析（1）化简f（x），利用周期公式求出ω得出f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性列出不等式解出单调增区间；
（2）利用正弦函数的性质得出sin（$\frac{ωπ}{3}+\frac{π}{6}$）=0，解出ω．

解答解：f（x）=cos²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx=$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（1）∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
令-$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴f（x）的单调递增区间是[$-\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）∵函数f（x）的图象的一个对称中心的横坐标为$\frac{π}{6}$，
∴sin（$\frac{ωπ}{3}+\frac{π}{6}$）=0，∴$\frac{ωπ}{3}+\frac{π}{6}$=kπ，解得ω=3k-$\frac{1}{2}$．
∵ω＞0，∴当k=1时，ω取得最小值$\frac{5}{2}$．

点评本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，结合正弦函数的性质列出不等式或发出是解题的关键，属于中档题．

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A．

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

B．

$\sqrt{10}$

C．

D．

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5．已知$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{3}$，则cos⁴（$\frac{π}{3}$+α）-cos⁴（$\frac{π}{6}$-α）的值为（　　）

A．

$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$

B．

$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$

C．

$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$

D．

$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$

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2．将函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2xsin$\frac{π}{3}$+cos²xcos$\frac{π}{3}$$-\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则函数g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值分别为（　　）

A．

$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$

B．

$\frac{1}{4}$，$-\frac{1}{4}$

C．

$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$

D．

$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{2}$

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9．①$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{0}$=$\overrightarrow{0}$；②0•$\overrightarrow{a}$=0；③$\overrightarrow{0}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BA}$；④|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|⑤若$\overrightarrow{a}$≠0，则对任一非零向量$\overrightarrow{b}$都有$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$≠0；⑥$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$中至少有一个为$\overrightarrow{0}$；⑦$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是两个单位向量，则$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{b}$²．
其中正确命题的序号是③⑦．

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19．sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°的值为（　　）

A．

$\frac{3}{4}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{3}$

D．

$\frac{1}{4}$

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6．已知函数f（x）=|2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$|在[-$\frac{1}{2}$，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

A．

[0，1]

B．

[-1，1]

C．

[-1，2]

D．

（-∞，2]

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A．

（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{3}$）

B．

（1+$\sqrt{2}$，+∞）

C．

（$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）

D．

（1，1+$\sqrt{2}$）

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4．下列命题中真命题的个数是（　　）
①若命题p为真，命题?q为真，则命题p且q为真；
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A．

0个

B．

1个

C．

2个

D．

3 个

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