Question

4．已知函数f（x）=|x-1|+|x+2|
（Ⅰ） 解关于x的不等式f（x）≥4；
（Ⅱ） 若关于x的不等式f（x）≥c恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由题意可得f（x）_min≥c，利用绝对值三角不等式求得|x-1|+|x+2|的最小值为3，可得c的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x-1|+|x+2|，故由关于x的不等式f（x）≥4可得$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{1-x-x-2≥4}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜1}\\{1-x+x+2≥4}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+x+2≥4}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-$\frac{5}{2}$，解②求得x∈∅，解③求得x≥$\frac{3}{2}$．
综上可得，x≤-$\frac{5}{2}$，或x≥$\frac{3}{2}$，故原不等式的解集为{x|x≤-$\frac{5}{2}$，或x≥$\frac{3}{2}$ }．
（Ⅱ） 若关于x的不等式f（x）≥c恒成立，则f（x）_min≥c．
∵|x-1|+|x+2|≥|x-1-（x+2）|=3，当且仅当-2≤x≤1时，取等号，∴|x-1|+|x+2|的最小值为3，即c≤3，
即c的范围为（-∞，3]．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化数学思想，属于中档题．