Question

16．已知函数f（x）=ax²+bx-1（a，b∈R且a＞0 ）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则$\frac{b}{a+1}$的取值范围是（0，2）．

Answer 1

分析 由题意知，一个根在区间（1，2）内，得关于a，b的等式，再利用线性规划的方法求出$\frac{b}{a+1}$的取值范围即可．

解答 解：设f（x）=ax²+bx-1=0，由题意得，f（1）•f（2）＜0，
∴（a+b-1）（4a+2b-1）＜0．且a＞0．
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b-1＜0}\\{4a+2b-1＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+b-1＞0}\\{4a+2b-1＜0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，（不合题意舍去）
视a，b为变量，作出可行域如图．

则$\frac{b}{a+1}$的几何意义表示平面区域内的点与（-1，0）的所在直线的斜率，
结合图象直线过（-1，0），（0，2）时斜率最大，最大值是2，
最小值是0，
故答案为：（0，2）．

点评 本题考查了线性规划的运用，线性规划为研究函数的最值或最优解提供了新的方法，借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．