Question

13．在△ABC中，E为AC上一点，且$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AE}$，P为BE上一点，且满足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），则当$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$取最小值时，向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）的模为$\frac{\sqrt{5}}{6}$．

Answer 1

分析 根据平面向量基本定理求出m，n关系，进而确定$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$取最小值时m，n的值，代入求$\overrightarrow{a}$的模．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AE}$，∴$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AE}$，
又∵P为BE上一点，不妨设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BE}$（0＜λ＜1），
∴$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$）=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AE}$，
∴m$\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AE}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AE}$，
∵$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$不共线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1-λ}\\{4n=λ}\end{array}\right.$，所以m+4n=1-λ+λ=1
∴$\frac{1}{m}$$+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）×（m+4n）=5+4$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$
≥5+2$\sqrt{\frac{4n}{m}×\frac{m}{n}}$=9（m＞0，n＞0）
当且仅当$\frac{4n}{m}=\frac{m}{n}$即m=2n时等号成立，
又∵m+4n=1，∴m=$\frac{1}{3}$，n=$\frac{1}{6}$，
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{6}$．

点评 本题考查平面向量基本定理和基本不等式求最值，难点在于利用向量求m，n的关系和求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最值．