Question

11．已知f（x）=2sin$\frac{x}{2}$sin（θ-$\frac{x}{2}$）-1
（1）若f（x）是偶函数，则cos$\frac{θ}{2}$=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）若f（x）的最大值是$\frac{1}{2}$，则cos2θ=-1．

Answer 1

分析 （1）由于f（x）是偶函数，可得f（-x）=f（x），化为sinxsinθ=0，由于对于x∈R上式都成立，可得sinθ=0．即可得出．
（2）利用和差公式与倍角公式可得：f（x）=cos（x-θ）-cosθ-1．f（x）的最大值是$\frac{1}{2}$，可得cos（x-θ）=1，cosθ=0．再利用倍角公式即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），∴-2sin$\frac{x}{2}$sin（θ+$\frac{x}{2}$）-1=2sin$\frac{x}{2}$sin（θ-$\frac{x}{2}$）-1，
化为sinxsinθ=0，由于对于x∈R上式都成立，∴sinθ=0．
∴θ=$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），∴$cos\frac{θ}{2}$=$cos（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}）$=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）f（x）=2sin$\frac{x}{2}$sin（θ-$\frac{x}{2}$）-1=$2sin\frac{x}{2}$$（sinθcos\frac{x}{2}-cosθsin\frac{x}{2}）$-1
=sinθsinx-cosθ（1-cosx）-1
=cos（x-θ）-cosθ-1．
f（x）的最大值是$\frac{1}{2}$，
∴cos（x-θ）=1，cosθ=0．
则cos2θ=2cos²θ-1=-1．
故答案分别为：（1）$±\frac{\sqrt{2}}{2}$；（2）-1．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式与倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．