Question

设函数g（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c（a，b∈R）的图象经过原点，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（I）由函数g（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c（a，b∈R）的图象经过原点，可得c=0，由P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．可得f（x）=g′（x），根据方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，结合韦达定理可得a，b的值，进而得到f（x）的表达式；
（Ⅱ）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，在区间[-1，3]上f（x）=g′（x）=x²+ax+b≤0恒成立，则

f(-1)≤0 f(3)≤0

，即

a-b≥1 3a+b≤-9

，画出满足条件的可行域，分析a²+b²的几何意义，数形结合，可得答案．

解答： 解：（I）∵函数g（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c（a，b∈R）的图象经过原点，
∴c=0，
则g（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx，f（x）=g′（x）=x²+ax+b，
∵方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，
∴

-2+4=-a -2×4=b

，
解得：

a=-2 b=-8

，
∴f（x）=x²-2x-8，
（Ⅱ）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，
则在区间[-1，3]上f（x）=g′（x）=x²+ax+b≤0恒成立，
则

f(-1)≤0 f(3)≤0

，即

a-b≥1 3a+b≤-9

，
其对应的平面区域如下图所示：

而a²+b²表示可行域内的点到原点距离的平方，
所以当

a=-2 b=-3

时，a²+b²有最小值13

点评：本题考查的知识点是函数的单调性，函数解析式的求法，利用导数分析函数的单调性，线性规划，是函数，导数，不等式的综合应用，难度中档．