Question

某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB折痕为AB′，AB′交DC于点P，当凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意，设DP=y，则PC=x-y．因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．由  PA²=AD²+DP²，代入即可求出；
（2）记△ADP的面积为S，则S=

1

2

x（2-x）+（1-

1

x

）（2-x）=3-

1

2

（x²+

4

x

）（1＜x＜2）求出当x=

3	2

时，S取得最大值，从而求出长和宽．

解答： 解：（1）由题意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2，
设DP=y，则PC=x-y．
因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由  PA²=AD²+DP²，
得  （x-y）²=（2-x）²+y²⇒y=2（1-

1

x

）（1＜x＜2）．
（2）记△ADP的面积为S，则
S=

1

2

x（2-x）+（1-

1

x

）（2-x）=3-

1

2

（x²+

4

x

）（1＜x＜2）
于是，S′=

1

2

（2x-

4

x2

）=

-x3+2

x2

=0⇒x=

3	2

，
关于x的函数S在（1，

3	2

）上递增，在（

3	2

，2）上递减．
所以当x=

3	2

时，S取得最大值
故当薄板长为

3	2

米，宽为2-

3	2

米时，制冷效果最好．

点评：本题考查了函数解析式的求法，自变量的取值范围，考查求函数的最值问题，是一道综合题．