Question

把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知得长方体容积V=V（x）=x（60-2x）²=4x（x-30）²，V′（x）=4（x-30）²+8x（x-30），由此利用导数性质列表讨论能求出在x=10时，盒子的容积最大，最大容积是16000．

解答： 解：设长方体高为xcm，则底面边长为（60-2x）cm．（0＜x＜30）…（1分）
长方体容积（单位：cm³）V=V（x）=x（60-2x）²=4x（x-30）²，…（3分）
V′（x）=4（x-30）²+8x（x-30）
=4（x-30）（3x-30）
=12（x-30）（x-10），…（5分）
令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合题意合去），
列表讨论，得：

x	（0，10）	10	（10，30）
V′（x）	+	0	-
V（x）	↑		↓

…（7分）
在x=10时，V取得最大值为V_max=40•20²=16000．…（10分）

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．