Question

已知

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，sinx），若x∈[-

3π

8

，

π

4

]，函数f（x）=n

a

•

b

的最大值是

1

2

，求n的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：利用数量积运和倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=n

a

•

b

=

2

2

nsin(2x-

π

4

)+

1

2

n．由于
x∈[-

3π

8

，

π

4

]，可得(2x-

π

4

)∈[-π，

π

4

]．可得sin(2x-

π

4

)∈[-1，

2

2

]．再对n分类讨论即可得出．

解答： 解：函数f（x）=n

a

•

b

=n（sin²x+sinxcosx）
=n(

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x)
=

2

2

nsin(2x-

π

4

)+

1

2

n．
∵x∈[-

3π

8

，

π

4

]，∴(2x-

π

4

)∈[-π，

π

4

]．
∴sin(2x-

π

4

)∈[-1，

2

2

]．
当n≥0时，sin(2x-

π

4

)=

2

2

时，f（x）取得最大值，∴

2

2

n+

1

2

n=

1

2

，解得n=

2

-1．
当n＜0时，sin(2x-

π

4

)=-1时，f（x）取得最大值，∴-

2

2

n+

1

2

n=

1

2

，解得n=-1-

2

．

点评：本题考查了数量积运、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．