Question

设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（其中k∈R）．
（Ⅰ）当k=

1

2

e时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当k∈（

1

2

，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导，由导数求单调区间；（2）求导，再求导，最终求出最大值M．

解答： 解：（Ⅰ） 当k=

1

2

e时，f(x)=(x-1)ex-

1

2

ex2；
f'（x）=e^x+（x-1）e^x-ex=x（e^x-e），
令f′（x）=0，解得，x=0或x=1．
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增		减		增

右表可知，函数f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（-∞，0），（1，+∞）．
（Ⅱ）f'（x）=e^x+（x-1）e^x-2kx=x（e^x-2k），
令 f'（x）=0得，x=0或x=ln（2k）；
令g（k）=ln（2k）-k，则g′（k）=

1

k

-1＞0，
所以g（k）在（

1

2

，1]上递增．
所以g（k）＜0，从而ln（2k）＜k，
所以当0＜x＜ln（2k）时，f'（x）＜0；
当x＞ln（2k）时，f'（x）＞0；
所以M=max{f（0），f（k）}=max{-1，（k-1））e^k-k³}，
令h（k）=（k-1）e^k-k³+1，则h′（k）=k（e^k-3k），
令φ（k）=e^k-3k，则φ′（k）=e^k-3＜0，
所以φ（k）=e^k-3k在（

1

2

，1]上递减，
而φ（

1

2

）φ（1）＜0；
所以存在x₀∈（

1

2

，1]使得φ（x₀）=0，
当k∈（

1

2

，x₀）时，φ（k）＞0，
当k∈（x₀，1）时，φ（k）＜0，
所以h（k）在（

1

2

，x₀）上单调递增，在（x₀，1）上单调递减．
因为h(

1

2

)=-

1

2

e

+

7

8

＞0，h（1）=0，
所以h（k）≥0在（

1

2

，1]上恒成立，当且仅当k=1时取得“=”．
综上，函数f（x）在[0，k]上的最大值为M=（k-1）e^k-k³．

点评：考查了导数的综合应用，用到了多次求导．