Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且过点A（1，

3

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且

BD

=2

DA

，求直线AB方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得e=

c

a

=

1

2

，

1

4c2

+

3

4c2

=1，由此能求出椭圆方程．
（2）设B（x₀，y₀），D（0，m），则

BD

=(-x0，m-y0)，

DA

=(1，

3

2

-m)，由此能求出直线方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且过点A（1，

3

2

），
∴e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，…（2分）
∴b²=a²-c²=3c²
设椭圆方程为：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
∴

1

4c2

+

3

4c2

=1∴c=1
∴椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1…（7分）
（2）设B（x₀，y₀），D（0，m），
则

BD

=(-x0，m-y0)，

DA

=(1，

3

2

-m)，
∴-x₀=2，m-y₀=3-2m，
即x₀=-2，y₀=3m-3，
代入椭圆方程得m=1，∴D（0，1），…（14分）
∴lAB：y=

1

2

x+1．…（16分）

点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．