Question

已知函数f（x）满足：f²（x）-2f（x）f（x+1）+2f（x+1）=0（x∈R），
（1）用反证法证明：f（x）不可能为正比例函数；
（2）若f（0）=4，求f（1）、f（2）的值，并用数学归纳法证明：对任意的x∈N^*，均有：2＜f（x）＜3．

Answer 1

考点：数学归纳法,反证法与放缩法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）运用反证法证明，假设f（x）=kx，（k≠0），代入条件化简整理，推出k=0与条件矛盾，得证；
（2）分别令x=0，x=1求出f（1），f（2），然后运用数学归纳法证明，注意x=k+1时的f（k+1）注意拆项和换元，运用对勾函数，求出范围即可得证．

解答： （1）证明：假设f（x）=kx，（k≠0），
代入f²（x）-2f（x）f（x+1）+2f（x+1）=0（x∈R），
可得：-k²x²+（2k-2k²）x+2k=0对任意x恒成立，
故必有k=0，但由题设知k≠0，
故f（x）不可能为正比例函数．
（2）由f（0）=4，则f²（0）-2f（0）f（1）+2f（1）=0，
即16-8f（1）+2f（1）=0，可得：f(1)=

8

3

，
由f²（1）-2f（1）f（2）+2f（2）=0，可得f(2)=

32

15

．
证明：当x=1时：显然有2＜f（1）＜3成立．
假设当x=k时，仍然有2＜f（k）＜3成立．则当x=k+1时，
由原式整理可得：f(k+1)=

f2(k)

2f(k)-2

=

1

2

[(f(k)-1)+

1

(f(k)-1)

+2]．
令t=f（k）-1∈（1，2），故f(k+1)=

1

2

(t+

1

t

+2)∈(2，

9

4

)⊆（2，3）．
故2＜f（k+1）＜3成立．
综上可得：对任意的x∈N^*，均有2＜f（x）＜3．

点评：本题考查不等式的证明方法：反证法，数学归纳法，同时考查抽象函数的赋值法，考查基本的运算能力，属于中档题．