Question

已知

e1

，

e2

是平面内两个不共线的非零向量，

AB

=2

e1

+

e2

，

BE

=-

e1

+λ

e2

，

EC

=-2

e1

+

e2

，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；若

e1

=（2，1），

e2

=（2，-2），求

BC

的坐标；
（2）已知点D（3，5），在（1）的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：本题（1）通过几何法将向量转化为两向量的和，再将所得向量坐标化，即可得正确结论；（2）由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到A点的坐标，即本题答案．

解答： 解：（1）∵

AE

=

AB

+

BE

=(2

e1

+

e2

)+(-

e1

+λ

e2

)=

e1

+(1+λ)

e2

，
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得

AE

=k

EC

．
即

e1

+(1+λ)

e2

=k(-2

e1

+

e2

)，
得(1+2k)

e1

=(k-1-λ)

e2

．
∵

e1

，

e2

是平面内两个不共线的非零向量，
∴

1+2k=0 λ=k-1

，
解得k=-

1

2

，λ=-

3

2

．
∴

BC

=

BE

+

EC

=-3

e1

-

1

2

e2

=(-6，-3)+(-1，1)=(-7，-2)．
（2）∵A、B、C、D四点构成平行四边形，
∴

AD

=

BC

．
设A（x，y），则

AD

=(3-x，5-y)，
又

BC

=(-7，-2)，
∴

3-x=-7 5-y=-2

，
解得

x=10 y=7

，
∴点A（10，7）．

点评：本题考查的是平面向量的坐标运算，有一定的思维量，属于中档题．