Question

已知f（x）=e^x-1-x-ax²．
（1）当a=0时，讨论f（x）的单调性；
（2）若对?x≥0，恒有f（x）≥0，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）将a=0代入并求导，分析定义域各区间上导数的符号，进而根据导函数符号与原函数单调性的关系，可得结论．
（2）先证明e^x≥1+x可得不等式f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，从而可知当1-2a≥0，即a≤

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时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=e^x-1-x，
f′（x）=e^x-1，
∵当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；
（2）令g（x）=e^x-1-x，g′（x）=e^x-1．
当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．
故g（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加．
∴g（x）≥g（0）=0，
∴e^x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．
∵f′（x）=e^x-1-2ax，
∴f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
从而当1-2a≥0，即a≤

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时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是当x≥0时，f（x）≥0．
由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）．
从而当a＞

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时，f′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故当x∈（0，ln2a）时，f′（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．
综合得a的取值范围为（-∞，

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]．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，运算量大，综合性性，转化困难，属于难题．