Question

为迎接2013年全运会在注著名的海滨城市大连举行了场奥运选拔赛，其中甲乙两名运动员为争取最好一个参赛名额进行了7轮比赛的得分如茎叶图所示．
（Ⅰ）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80分且不高于90分的得分，求甲的3个得分与其每轮比赛的平均分的差的绝对值不超过2的概率；
（Ⅱ）若分别从甲，乙两名运动员的每轮比赛不低于80分且不高于90分的得分中任选1个，求甲，乙两名运动员得分之差的绝对值ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,茎叶图,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）由茎叶图可知，甲每轮比赛的平均得分为84，甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共有5个，其中81分与平均得分的绝对值大于2，由此能求出甲的3个得分与其每轮比赛的平均分的差的绝对值不超过2的概率．
（2）设甲、乙两名运动员的得分分别为x，y，则得分之差的绝对值为ξ=|x-y|．ξ的可能取值为0，1，2，3，5，6．分别求出相应的概率，由此能求出甲，乙两名运动员得分之差的绝对值ξ的分布列及数学期望．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）由茎叶图可知，
甲运动员七轮比赛的得分情况为：78，81，84，85，84，85，91．
所以甲每轮比赛的平均得分为

.

x

=

1

7

(78+81+84+85+84+85+91)=84．…（2分）
甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共有5个，
分别为81，84，85，84，85，其中81分与平均得分的绝对值大于2，
所求概率P=

C 3 4

C 3 5

=

2

5

．…（5分）
（2）设甲、乙两名运动员的得分分别为x，y，则得分之差的绝对值为ξ=|x-y|．
显然，由茎叶图可知，ξ的可能取值为0，1，2，3，5，6．
当ξ=0时，x=y=84，故P（ξ=0）=

C 1 2 C 1 3

C 1 5 C 1 5

=

6

25

，
当ξ=1时，x=85，y=84或y=86，故P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 1 5 C 1 5

=

8

25

，
当ξ=2时，x=84，y=86或x=85，y=87，
故P（ξ=2）=

C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

+

C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

4

25

，
当ξ=3时，x=81，y=84或x=84，y=87，
故P（ξ=3）=

C 1 1 C 1 3

C 1 5 C 1 5

+

C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

5

25

=

1

5

，
当ξ=5时，x=81，y=86，故P（ξ=5）=

C 1 1 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

1

25

，
当ξ=6时，x=81，y=87，故P（ξ=6）=

C 1 1 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

1

25

，…（8分）
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	5	6
P	6 25	8 25	4 25	1 5	1 25	1 25

Eξ=0×

6

25

+1×

8

25

+2×

4

25

+3×

1

5

+5×

1

25

+6×

1

25

=

42

25

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．