Question

数列{a_n}是等差数列，a₁=f（x-1），a₂=3，a₃=f（x+1），其中f（x）=x²-4x+2（x≠0）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{

an

2n

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由函数解析式结合a₁=f（x-1），a₃=f（x+1）求得a₁，a₃，由等差中项的概念列式求得x的值，则数列{a_n}的通项公式a_n可求；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入

an

2n

，然后利用错位相减法求得数列{

an

2n

}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-4x+2，
∴a1=f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+2=x2-6x+7，
a3=f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+2=x2-2x-1．
∵{a_n}是等差数列，
∴2a₂=a₁+a₃，
即6=2x²-8x+6，
∴2x²-8x=0．
∵x≠0，
∴x=4．
当x=4时，a₁=-1，a₂=3，a₃=7，
∴a_n=4n-5；
（Ⅱ）由题意，知Tn=

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

an-1

2n-1

+

an

2n

．
∴Tn=

-1

2

+

3

22

+

7

23

+…+

4n-9

2n-1

+

4n-5

2n

 ①

1

2

Tn= 

-1

22

+

3

23

+

7

24

+ … +

4n-9

2n

+

4n-5

2n+1

 ②
①-②，得

1

2

Tn=-

1

2

+4(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

4n-5

2n+1

=-

1

2

+4×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

4n-5

2n+1

=

3

2

-

4n+3

2n+1

，
∴Tn=3-

4n+3

2n

．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的性质，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．