Question

已知动圆M与定圆x²+（y-

1

2

）²=

1

16

相外切，且与定直线y=-

1

4

相切，动圆圆心M的轨迹记为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+m与曲线C相交于A，B两点，Q（x₀，y₀）是曲线C上异于A、B的点，曲线C在A，B处的切线相交于P点，曲线C在点Q处的切线l与直线PA，PB分别交于点D、E，求△QAB与△PDE的面积之比．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,直线和圆的方程的应用

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设F（0，

1

2

），M到定直线y=-

1

4

的距离为d，动圆M的半径为R，由已知得：|MF|=R+

1

4

，由抛物线的定义得C的方程为x²=2y．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），记△QAB、△PDE的面积分别为S₁、S₂，由

y=kx+m x2=2y

，得x²-2kx-2m=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、点到直线的距离公式能求出△QAB与△PDE的面积之比．

解答： 解：（Ⅰ）设F（0，

1

2

），M到定直线y=-

1

4

的距离为d，动圆M的半径为R，
由已知得：|MF|=R+

1

4

，d=R，即|MF|与M到定直线y=-

1

2

的距离相等，
由抛物线的定义得C的方程为x²=2y．（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），记△QAB、△PDE的面积分别为S₁、S₂，
由

y=kx+m x2=2y

，得x²-2kx-2m=0，则x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2m，
△=4k²+8m＞0，（7分）
|AB|=

1+k2

•

4k2+8m

，Q到AB的距离d1=

|kx0+m-y0|

1+k2

，
则S₁=

1

2

|AB|•d1=

k2+2m

|kx₀+m-y₀|，（8分）
由x²=2y，得y=

x2

2

，y′=x，
则曲线C在A处的切线y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x1x-

1

2

x12，①
同理曲线C在B处的切线为y=x2x-

1

2

x22，②
由①②得P（

x1+x2

2

，

x1x2

2

），即P（k，-m），（10分）
同理曲线C在Q处的切线为y=x0x-

1

2

x02，
D（

x1+x0

2

，

x1x0

2

），E（

x2+x0

2

，

x2x0

2

），（11分）
则|DE|=

( x1-x2 2 )2+( x1x0 2 - x2x0 2 )2

=

1+x02

2

(x1+x2)-4x1x2

=

1+x02

k2+2m

，
P到DE的距离d₂=

| x1+x2 2 x0- 1 2 x02- x1x2 2 |

1+x02

=

|kx0-y0+m|

1+x02

，
则S₂=

1

2

|DE|d₂=

1

2

k2+2m

|kx₀-y₀+m|，（14分）
所以

S1

S2

=2，
故△QAB与△PDE的面积之比为2．（15分）

点评：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．