Question

已知正项数列{x_n}满足x_n+

1

xn+1

＜2（n∈N^*）．
（1）证明：x_n+

1

xn

≥2；
（2）证明：x_n＜x_n+1；
（3）用数学归纳法证明：x_n＞

n-1

n

．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：推理和证明

分析：（1）可以利用基本不等式进行证明；（2）利用（1）的结论，通过不等式传递，得到本题结果；（3）可以将原不等式利用数学归纳法进行证明．

解答： 证明：（1）∵x_n＞0，∴xn+

1

xn

≥2

xn× 1 xn

=2，∴x_n+

1

xn

≥2；，当且仅当x_n=1时，等号成立．
（2）由（1）知xn+

1

xn

≥2，又x_n+

1

xn+1

＜2，
所以

1

xn

＞

1

xn+1

，所以x_n＜x_n+1．
（3）①当n=1时，不等式显然成立； 
②假设当n=k（k∈N^*）时不等式成立，即xk＞

k-1

k

．
当n=k+1时，由xn+

1

xn+1

＜2，得xk+1＞

1

2-xk

＞

1

2- k-1 k

=

k

k+1

，
即当n=k+1时，不等式成立； 
综上，对一切n∈N^*都有xn＞

n-1

n

成立．

点评：本题考查的不等式和数列的知识，包括基本不等式、解不等式、数列、数学归纳法，思维量较大．