Question

某射击手每次命中目标的概率为

2

3

，求X的概率分布和数学期望．
（1）连续射击3次，击中目标的次数为X；
（2）只有3发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，耗用子弹数X．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）由题意知X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（2）由题意知X=1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由题意知X=0，1，2，3，
P（X=0）=（1-

2

3

）³=

1

27

，
P（X=1）=

C

1 3

(

2

3

)(1-

2

3

)2=

6

27

，
P（X=2）=

C

2 3

(

2

3

)2(1-

2

3

)=

12

27

，
P（X=3）=(

2

3

)3=

8

27

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 27	6 27	12 27	8 27

EX=0×

1

27

+1×

6

27

+2×

12

27

+3×

8

27

=2．
（2）由题意知X=1，2，3，
P（X=1）=

2

3

，
P（X=2）=

1

3

×

2

3

=

2

9

，
P（X=3）=

1

3

×

1

3

=

1

9

，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	2 3	2 9	1 9

∴E（X）=1×

2

3

+2×

2

3

+3×

1

9

=

13

9

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．