Question

△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=-

1

3

，cosC=

2

sinB．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由cosA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，已知等式右边利用诱导公式化简，再利用两家哦哦和与差的正弦函数公式变形，整理后利用同角三角函数间基本关系化简求出sinC的值即可；
（Ⅱ）由a，sinA，sinC的值，利用正弦定理求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=-

1

3

，A为三角形内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
又cosC=

2

sinB，
∴cosC=

2

sin（A+C）=

2

（sinAcosC+cosAsinC）=

4

3

cosC-

2

3

sinC，即

2

sinC=cosC，
又sin²C+cos²C=1，
∴sinC=

3

3

；
（Ⅱ）∵a=

2

，sinA=

2 2

3

，sinC=

3

3

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

=

3

2

，
由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+ 3 4 -2

3 b

=

1

3

，
解得：b=

3

2

，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．